Une salle de répétitions musicales pour le lycée (4)

Sarah : Essayons de retrouver le niveau sonore de quand tu as joué une intensité sonore de \(2\times 10^{-6} \ \text{W} \cdot \text{m}^{-2}\). On doit calculer \(L=10\times \text{log}\Big(2\times \dfrac{10^{-6}}{10^{-12}}\Big)=10\times \text{log}(2\times 10^{6})\). Si je ne me trompe pas, on peut écrire que \(10^{\text{log}(2)}=2\).

Léo : Oui... tu as réutilisé ce qu'on a compris tout à l'heure, le \(\text{log}(2)\) est la solution de l'équation \(10^x=2\).

Sarah : Oui, et donc aussi \(10^{\text{log}(10^{6})}=10^{6}\).

Léo : Logiquement oui, même si je ne te cache pas que cette ligne me semble un peu trop compliquée...

Sarah : Oui, on va voir. Si je remplace je trouve \(L=10\times \text{log}\Big(2\times 10^{6}\Big)=10\times \text{log}\Big(10^{\text{log}(2)}\times10^{\text{log}{10^{6}}}\Big)\).

Léo : Ok je sais ! \(10^{\text{log}(2)}\times10^{\text{log}(10^{6})} = 10^{\text{log}(2)+\text{log}(10^{6})}\).

Sarah : Oui, on y est :  \(L=10\times \text{log}\Big(10^{\text{log}(2)}\times10^{\text{log}{10^{6}}}\Big)=10\times \text{log}\Big( 10^{\text{log}(2)+\text{log}(10^{6})} \Big)=10(\text{log}(2)+\text{log}(10^{6})).\)

Léo : Donc, si je reprends depuis le début, on a transformé un produit par \(2\) en une somme. \(L=10\times \text{log}\Big(2\times 10^{6}\Big)=10(\text{log}(2)+\text{log}(10^{6})).\)

Sarah : Oui et on peut écrire encore mieux : \(L=10\times \text{log}(2)+10 \times \text{log}(10^{6})=10\times\text{ log}(2)+60.\)

Léo : Waouh ! D'ailleurs le \(3\) que l'on ajoute au niveau sonore lorsqu'on double d'intensité est une valeur approchée.

Question Retrouver la valeur approchée \(3\) dans le résultat de Sarah. Expliquer alors pourquoi, lorsqu'on multiplie par \(4\) l'intensité sonore, le niveau sonore augmente d'à peu près \(6\). Et si on multipliait l'intensité par un entier positif \(n\) quelconque, de combien le niveau sonore augmenterait-il ?